les modes à transpositions limitées :

critères objectifs 

le procédé explicatif utilisé ici s’inspire librement du système de classification des MATL utilisé par Dominique Rivolta dans sa thèse ‘genèse des modes à transpositions limitées’ / pour un raccourci, la classification suivant la ‘méthode’ Slonimsky propose une explication nettement plus chirurgicale

1/ division de l’octave en 12 parts égales
= la gamme chromatique, ensemble non transposable. 

2/ division de l’octave en 6 parts égales
on obtient la gamme par tons, c’est le premier mode à transpositions limitées :
2 transpositions possibles: CM1 ( C D E F# G# Bb ) et DbM1 ( Db Eb F G A B )
(nommés M1 1 et M1 2 dans la terminologie de Messiaen)
CM1 = DM1 = EM1 = F#M1 = AbM1 = BbM1
C#M1 = EbM1 = FM1 = GM1 = AM1 = BM1 

Messiaen commente ce mode dans son ‘traité de mon langage musical: ‘Debussy (dans Pelleas et Mélisande) et Paul Dukas ( dans Ariane et Barbe-Bleue ) en ont fait un usage si remarquable qu’il n’y a plus rien à ajouter. Nous éviterons donc soigneusement de nous en servir’ 

3/ division de l’octave en 4 parts égales

a) on obtient l’accord diminué, dont il existe 3 transpositions : C Eb F# A / C# E G Bb / D F Ab B ( cf 5d )
b) en combinant deux accords diminués, on obtient une échelle octatonique, c’est le deuxième mode à transpositions limitées (communément nommée ‘gamme diminuée’ ou gamme ‘octatonique’ en jazz : demi-ton/ton ou ton/demi-ton ) 

il existe 3 transpositions:
CM2 ( C C# D# E F# G A Bb )
C#M2 ( C# D E F G Ab Bb B )
DM2 ( D Eb F F# G# A B ) 

CM2 = EbM2 = F#M2 = AM2
C#M2 = EM2 = GM2 = BbM2
DM2 = FM2 = AbM2 = BM2 

nb: chaque note de M2 fait partie d’un accord diminué / on se référera à ‘Technique de mon langage musical’ ( ex 312 à 328 ) pour quelques exemples musicaux utilisant le second mode à transpositions limitées 

4/ division de l’octave en 3 parts égales 

a) on obtient l’accord augmenté (l’accord augmenté se retrouve dans M1, M3, M6 et M7)
il existe 4 transpositions:
C E G#
Db F A
D F# A#
Eb G B  

b) en ajoutant un demi-ton inférieur (ou supérieur) à chacune des trois notes de l’accord augmenté, on obtient une échelle hexatonique
( communément nommée ‘gamme augmentée’ en jazz )
il existe 4 transpositions:
(B)C D#E G G# B(C)
(C)Db EF G#A C(Db)
(C#)D FF# ABb C#(D)
(D)Eb F#G A#B D(Eb) 

c) en ajoutant un demi-ton inférieur et supérieur à chacune des trois notes, on obtient une échelle ennéatonique,
c’est le troisième mode à transpositions limitées, il existe 4 transpositions:
CM3 = C D Eb E F# G G# A# B ( M3 1 )
C#M3 = C# D# E F G Ab A B C ( M3 2 )
DM3 = D E F F# G# A Bb C Db ( M3 3 )
EbM3 = Eb F Gb G A Bb B C# D ( M3 4 ) 

CM3 = EM3 = G#M3 / C#M3 = FM3 = AM3 / DM3 = F#M3 = BbM3 / EbM3 = GM3 = BM3 

nb: M3 est le seul mode à transpositions limitées qui divise l’octave en 3 parties symétriques
nb: chaque note de M3 fait partie d’une triade augmenté
on se référera entre autres à ‘Technique de mon langage musical’ ( ex 329 à 340 ) pour quelques exemples musicaux choisis par Messiaen pour illustrer le troisième mode à transpositions limitées) 

5/ division de l’octave en 2 parts égales 

a) on obtient l’intervalle de quarte augmentée, six transpositions possibles: C-F# / C#-G / D-G# / Eb-A / E-Bb / F-B

b) en ajoutant un demi-ton inférieur (ou supérieur) à chacune des deux notes, on obtient un accord hybride à 4 notes transposable 6x
(B)C (F)F#
(C)C# (F#)G
(C#)D (G)Ab
(D)Eb (G#)A
(D#)E (A)Bb
(E)F (A#)B 

c) en ajoutant un demi-ton inférieur et un demi-ton supérieur (*) à chacune des deux notes de 5a on obtient une échelle hexatonique transposable 6x, c’est le 5ème mode à transpositions limitées
CM5 = (B)C(C#) (F)F#(G)
C#M5 = (C)C#(D) (F#)G(Ab)
DM5 = (C#)D(Eb) (G)Ab(A)
EbM5 = (D)Eb(E) (G#)A(Bb)
EM5 = (D#)E(F) (A)Bb(B)
FM5 = (E)F(F#) (A#)B(C)

nb: comme pour tous les autres modes transposables 6x, chaque note de M5 a son ‘équivalent triton’ 

d) en ajoutant une tierce mineure à chacune des deux notes de 5a, on obtient un accord diminué, transposable 3 fois ( cf 3a )
C (Eb) F# (A) ( = Eb F# A C ) = C°7/Eb°7/F#°7/A°7
C# (E) G (Bb) ( = E G Bb C# ) = C#°7/E°7/G°7/Bb°7
D (F) B (Cb) ( = F Ab B D ) = D°7/F°7/Ab°7/B°7 

e) en ajoutant un tierce majeure à chacune des deux notes de 5a, on obtient un accord dominant b5, transposable 6x
C (E) F# (Bb) = C7b5/F#7b5
C# (F) G (B) = C#7b5/G7b5
D (F#) Ab (C) = D7b5/Ab7b5
Eb (G) A (Db) = Eb7b5/A7b5
E (G#) Bb (D) = E7b5/Bb7b5
F (A) B (Eb) = F7b5/B7b5 

f) en ajoutant une seconde majeure et une quarte juste à chacune des deux notes de 5a, on obtient un échelle hexatonique ( incluse dans le deuxième mode à transpositions limitées. C’est, dans la terminologie de Messiaen, un mode 2 tronqué )
C(D F)F#(G# B) = troncation de DM2 ( manquent Eb et A pour former DM2 )
C#(D# F#)G(A C) = troncation de CM2
D(E G)Ab(Bb Db) = troncation de C#M2
Eb(F Ab)A(B D) = troncation de DM2
E(F#A)Bb(CEb) = troncation de CM2
F(G Bb)B(C#E) = troncation de C#M2

g) en ajoutant une tierce mineure et une quarte juste à chacune des deux notes de 5a, on obtient un échelle hexatonique ( également incluse dans le deuxième mode à transpositions limitées = mode 2 tronqué )
C(Eb F)F#(A B) = troncation de DM2 ( manquent D et Ab pour former DM2 )
C#(E F#)G(Bb C) = troncation de CM2
D(F G)G#( B C#) = troncation de C#M2
Eb(Gb Ab)A(C D) = troncation de DM2
E(G A)Bb(Db Eb) = troncation de CM2
F(Ab Bb)B(D E) = troncation de C#M2 

h) en ajoutant une seconde majeure inférieure et supérieure à chacune des deux notes de 5a, on obtient le premier mode à transpositions limitées ( cf 2 )
C(D E)F#(G# Bb) = CM1
C#(D# F)G(A B) = C#M1
D(E F#)Ab(Bb C) = CM1
Eb(F G)A(B C#) = C#M1
E(F#G#)Bb(CD) = CM1
F(G A)B(C#D#) = C#M1 

i) en ajoutant une seconde mineure inférieure et deux secondes mineures supérieures (*) à chacune des deux notes de 5a,
on obtient le quatrième mode à transpositions limitées, transposable 6x 

CM4 = (B)C(C# D) (F)F#(G Ab)
C#M4 = (C)C#(D Eb) (F#)G(Ab A)
DM4 = (C#)D(Eb E) (G)Ab(A Bb)
EbM4 = (D)Eb(E F) (G#)A(Bb B)
EM4 = (D#)E(F F#) (A)Bb(B C)
FM4 = (E)F(F# G) (A#)B(C C#) 

nb: comme pour tous les autres modes transposables 6x, chaque note de M4 a son ‘équivalent triton’ / on se référera à ‘Technique de mon langage musical’ ( ex 345 et 346 ) pour quelques exemples musicaux choisis par Messiaen pour illustrer le quatrième mode à transpositions limitées. 

j) en rajoutant une seconde mineure inférieure et deux secondes majeures supérieures (*) à chacune des deux notes de 5a,
on obtient le sixième mode à transpositions limitées, transposable 6x

CM6 = F#M6 = (B)C(D E) (F)F#(G# A#)
C#M6 = GM6 = (C)Db(Eb F) (F#)G(A B)
DM6 = AbM6 = (C#)D(E F#) (G)Ab(Bb C)
EbM6 = AM6 = (D)Eb(F G) (G#)A(B C#)
EM6 = BbM6 = (D#)E(F# G#) (A)Bb(C D)
FM6 = BM6 = (E)F(G A) (A#)B(C# D#)

nb: comme pour tous les autres modes transposables 6x, chaque note de M6 a son ‘équivalent triton’ / on se référera à ‘Technique de mon langage musical’ ( ex 350 à 353 ) pour quelques exemples musicaux choisis par Messiaen pour illustrer le sixième mode à transpositions limitées. 

k) dernière combinaison possible, en rajoutant toutes les notes manquantes excepté la tierce majeure de chacune des deux notes de 5a ( ou vu autrement, l’échelle chromatique excepté l’intervalle 5a), on obtient une échelle décaphonique,
c’est le 7ème mode à transpositions limitées , transposable 6x

C(D Eb F)F#(G G# A B) = CM7 = F#M7
C#(D Eb E F#)G(G# A Bb C) = C#M7 = GM7
D(Eb E F G)G#(A Bb B C#) = DM7 = AbM7
Eb(E F F# G#)A(Bb B C D) = EbM7 = AM7
E(F F# G A)Bb(B C Db Eb) = EM7 = BbM7
F(F# G Ab Bb)B(C C# D E) = FM7 = BM7

 nb: comme pour tous les autres modes transposables 6x, chaque note de M7 a son ‘équivalent triton’ / on se référera à ‘Technique  de mon langage musical’ ( ex 354 à 357 ) pour quelques exemples musicaux choisis par Messiaen pour illustrer le septième mode à transpositions limitées  

au total : 15 ensembles à transpositions limitées, incluant les 7 modes à transpositions limitées de Messiaen.

1) – ensemble de 2 sons ( transposable 6x ) : 5a ( C41 / F#41 )
2) – ensemble de 3 sons ( transposable 4x ) : 4a ( C111 / E111 / G#111 )
3) – ensemble de 4 sons ( transposable 3x ) : 3a / 5d ( C249 / Eb249 / F#249 / A249 )
4) – ensemble de 4 sons ( transposable 6x ) : 5b ( Cc3 / F#c3 )
5) – ensemble de 4 sons ( transposable 6x ) : 5 e ( C145 / F#145 )
6) – ensemble de 6 sons ( transposable 2x ) : M1: 2 ( CM1 / DM1 / EM1 / F#M1 / G#M1 / BbM1 )
7) – ensemble de 6 sons ( transposable 4x ) : 4b ( C333 / E333 / G#333 )
8) – ensemble de 6 sons ( transposable 6x ) : M5 : 5c ( CM5 / F#M5 )
9) – ensemble de 6 sons ( transposable 6x ) : 5f ( C2cb / F#2cb )
10) – ensemble de 6 sons ( transposable 6x ) : 5g ( C34d / F#34d )
11) – ensemble de 8 sons ( transposable 3x ) : M2 :3b ( CM2 / EbM2 / F#M2 / AM2 )
12) – ensemble de 8 sons ( transposable 6x ) : M4 : 5i ( CM4 / F#M4 )
13) – ensemble de 8 sons ( transposable 6x ) : M6 : 5j ( CM6 / F#M6 )
14) – ensemble de 9 sons ( transposable 4x ) : M3 : 4c ( CM3 / EM3 / G#M3 )
15) – ensemble de 10 sons ( transposable 6x ) : M7 : 5k ( CM7 / F#M7 )
( les références en italique renvoient au système de classification utilisé dans le programme MOLT explorer ) 

si on se limite aux 7 MOLT utilisés par Messiaen, on dénombre 33 transpositions et 22 modes marqués 

les 33 transpositions : 

1- CM1
2- C#M1
3- CM2
4- C#M2
5- DM2
6- CM3
7- C#M3
8- DM3
9- EbM3
10- CM4
11- C#M4
12- DM4
13- EbM4
14- EM4
15- FM4
16- CM5
17- C#M5
18- DM5
19- EbM5
20- EM5
21- FM5
22- CM6
23 – C#M6
24- DM6
25- EbM6
26- EM6
27- FM6
28- CM7
29- C#M7
30- DM7
31- EbM7
32- EM7
33- FM7 

les 22 modes marqués *:
(* pour chacun des 7 modes on prend en compte toutes les notes de départ possibles.
Par exemple le mode majeur a 7 modes marqués ( cf série diationique: ionien, dorien, phrygien, lydien, mixolydien, aeolien, locrien )
C D E F G A B
D E F G A B C
E F G A B C D
F G A B C D E
G A B C D E F
A B C D E F G
B C D E F G A

Le mode 1 a 1 mode marqué / exemple pour CM1
C D E F# G# Bb 

Le mode 2 a 2 modes marqués / exemple pour CM2
C C# D# E F# G A Bb ( CM2 )
C# D# E F# G A Bb C ( CM2/C# )

Le mode 3 a 3 modes marqués / exemple pour CM3:
C D Eb E F# G G# A# B ( CM3 )
D Eb E F# G G# A# B C ( CM3/D )
Eb E F# G G# A# B C D ( CM3/Eb )

le mode 4 a 4 modes marqués / exemple pour CM4:
C C# D F F# G G# B ( CM4 )
C# D F F# G G# B C ( CM4/C# )
D F F# G G# B C C# ( CM4/D )
F F# G G# B C C# D ( CM4/F ) 

Le mode 5 a 3 modes marqués / exemple pour CM5:
C C# F F# G B ( CM5 )
C# F F# G B C ( CM5/C# )
F F# G B C C# ( CM5/F ) 

Le mode 6 a 4 modes marqués / exemple pour CM6:
C D E F F# G# A# B ( CM6 )
D E F F# G# A# B C ( CM6/D )
E F F# G# A# B C D ( CM6/E )
F F# G# A# B C D E ( CM6/F ) 

Le mode 7 a 5 modes marqués / exemple pour CM7:
C C# D Eb F F# G G# A B ( CM7 )
C# D Eb F F# G G# A B C ( CM7/C# )
D Eb F F# G G# A B C C# ( CM7/D )
Eb F F# G G# A B C C# D ( CM7:Eb )
F F# G G# A B C C# D Eb ( CM7/F ) 

La ‘méthode’ Slonimsky

en utilisant le système d’interpolation, infrapolation et ultrapolation étudié par Slonimsky, on peut résumer le processus décrit ci-dessus de manière chirurgicale. Nicolas Slonimsky : ‘ scales and melodic patterns are formed by the process of interpolation, infrapolation and ultrapolation (…). Infrapolation and ultrapolation result in the shift of direction, with the melodic line progressing in zigzags. Infrapolation, interpolation and ultrapolation may be freely combined, resulting in hyphenated forms’ ( in ‘thesaurus of scales and melodic patterns’, introduction )

interpolation = ‘insertion of 1 or several notes between the principal tones’
infrapolation = ‘adding 1 note a m2 below the principal tone’
ultrapolation = ‘adding one note a m2 above the next principal tone’

les différentes combinaisons d’additions symétriques de notes génèrant les 7 MATL:

– on généralise la construction du mode de manière linéaire( interpolation : on ajoute des notes entre les notes ‘cibles’, de bas en haut )

– on ne tient donc pas des approches et déclinaisons chromatiques (ultrapolation et infrapolation )

division de l’octave en 2 : au départ de C-F# :  M1, M2, M4, M5, M6 et M7

division de l’octave en 3 : au départ de C-E-G# : M1, M3

mode 1 :

au départ de  C-F#: interpolation de 2 notes

pour CM1 (= DM1=EM1=F#M1=G#M1=BbM1 ) : C +M2+M2 / F# +M2 +M2 : CDEF#G#Bb

au départ de C-E-G#: interpolation d’une note

pour CM1 (= DM1=EM1=F#M1=G#M1=BbM1 ) : C +M2 / E +M2 / G# +M2: CDEF#G#Bb

mode 2 :

au départ de C-F#: interpolation de 3 notes

pour CM2 : C +m2 +M2 +m2 / F# +m2 +M2 +m2 : CC#D#EF#GABb

pour DM2 : C +M2 +m2 +M2 / F# +M2 +m2 +M2 : CDEbFF#G#AB

mode 3 :

au départ de  C-E-G#: interpolation de 2 notes

pour CM3 : C +M2 +m2 /  E +M2 +m2 /  G# +M2 +m2 : CDEbEF#GG#A#B

pour C#M3 : C +m2 +M2 / E +m2 +M2 / G# +m2 +M2 : CC#D#EFGG#AB

pour DM3 : C +m2 +m2 / E +m2 +m2 / G# +m2 +m2 : CC#DEFF#G#ABb 

mode 4 :

au départ de  C-F#: interpolation de 3 notes

pour CM4: C +m2 +m2 +m3  / F# +m2 +m2 +m3 : CC#DFF#GG#B

pour C#M4 : C +m2 +m2 +m2 / F# +m2 +m2 +m2 : CC#DD#F#GG#A

pour EM4 : C +m3 +m2 +m2 / F# +m3 +m2 +m2 : CD#EFF#ABbB

pour FM4 : C +m2 +m3 +m2 / F# +m2 +m3 +m2 : CC#EFF#GBbB 

mode 5 :

au départ de  C-F#: interpolation de 2 notes

pour CM5 : C +m2 + P4 / F# +m2 + P4 : CC#FF#GB

pour C#M5 : C +m2 +m2 / F# +m2 +m2 : CC#DF#GG#

pour FM5 : C +M3 +m2 / F# +M3 +m2 : CEFF#A#B

mode 6 :

au départ de  C-F#: interpolation de trois notes

pour CM6: C +M2 +M2 +m2  / F# +M2 +M2 +m2 : CDEFF#G#A#B

pour DbM6 : C +m2 +M2 +M2 / F# +m2 +M2 +M2 : CDbEbFF#GAB

pour DM6 : C +m2 +m2 +M2 / F# +m2 +m2 +M2 : CC#DEF#GAbBb

pour EM6 : C +M2 +m2+m2 / F# +M2 +m2+m2 : CDD#EF#G#ABb 

Mode 7 :

au départ de  C-F#: interpolation de quatre notes

pour CM7 : C +m2 +m2 +m2 +M2 / F# +m2 +m2 +m2 +M2 : CC#DEbFF#GG#AB

pour C#M7 : C +m2 +m2 +m2 +m2 / F# +m2 +m2 +m2 +m2 : CC#DEbEF#GG#Abb

pour EbM7 : C +M2 +m2 +m2 +m2 / F# +M2 +m2 +m2 +m2 : CDEbEFF#G#AbbB

pour EM7 : C +m2 +M2 +m2 +m2 / F# +m2 +M2 +m2 +m2 : CC#D#EFF#GABbB

pour FM7 : C +m2 +m2 +M2 +m2 / F# +m2 +m2 +M2 +m2 : CC#DEFF#GG#BbB

critères subjectifs

Messiaen ne considère pas les ensembles 5a, 5b, 5d(=3a), 5e, 5f et 5g comme des modes à transpositions limitées, car ils sont soit des arpèges d’accords classés, soit des modes tronqués. Idem pour les exemples 4a et 4b, qui sont des troncations du troisième mode.

Ainsi, pour Messiaen, un mode à transpositions limitées doit contenir minimum 8 notes ( excepté le mode 1 et le mode 5 ) et tous les autres ensembles symétriques issus de la division de l’octave en deux, trois ou quatre parties égales contenant moins de 6 notes ( ou 6 notes comme les ensembles 5f et 5g ) sont considérés comme des sous-ensembles ( ou troncations ) des modes à transpositions limitées:

5a est sous-ensemble de M1, M2, M3, M4, M5, M6 et M7

ex: C-F# est sous-ensemble CM1, CM2, DM2, CM3, DM3, CM4, C#M4, EM4, FM4, CM5, C#M5, FM5, CM6, DbM6, DM6, EM6, CM7, C#M7, EbM7, EM7 et FM7

5b est sous-ensemble de M2, M4, M5, M6 et M7

ex: B-C-F-F# est sous-ensemble de DM2, CM4, EM4, FM4, CM5, FM5, CM6, C#M6, CM7, EbM7, EM7,FM7

5d ( ou 3a ) est sous-ensemble de M2, M4, M6 et M7

ex: C Eb F# A est sous-ensemble de CM2, DM2, C#M4, EM4, C#M6, EM6, CM7, C#M7, EbM7, EM7

5f est sous-ensemble de M2, M4, M6 et M7

ex: C D F F# G# B est sous-ensemble de DM2, CM4, CM6, CM7, EbM7, FM7

5g est sous-ensemble de M2, M4, M6 et M7

ex: C Eb F F# A B est sous-ensemble de DM2, EM4, C#M6, CM7, EbM7, EM7 

‘suivant cette logique d’inclusion, on notera que les modes 1, 2, 4, 5 et 6 sont tous présents dans le mode 7. De fait, il existe deux modes à transpositions limitées, le mode 3 et le mode 7. Mais comme le démontre la raison pour laquelle Messiaen considère le mode 5 comme un mode à part entière ( voir section ‘modes IDs’), les modes à transpositions limitées sont des ensembles de notes qui ont une couleur particulière. Ainsi, l’architecture intervallique ‘réduite’ des modes 2, 4 et 6 ( inclus dans le mode 7 ) et du mode 1 ( inclus à la fois dans les modes 3, 6 et 7 ) leur donne une ‘légitimité’, leur troncation en aiguisent les couleurs et générent des reliefs spécifiques, des mélodies et des harmonies plus aiguisées.